Relasi dan Fungsi

Relasi dan fungsi - matematika diskrit — Presentation Transcript

• 1. Relasi dan Fungsioleh:Ahmad Khakim AmrullahEvania Kurniawati
• 2. Relasi BinerDefinisi: Relasi biner antara A dan B adalah himpunan bagian dari A×B. R ⊆ (A×B)A adalah daerah asal (domain)B adalah daerah hasil (range atau codomain)Ingat perkalian kartesian: A×B={(a,b)| a∈A ⋀ b∈B}
• 3. Relasi BinerContoh:A={Ani,Budi,Cecep}B={AlPro,AlLin,MatDis,MetNum}R=relasi yang menyatakan matakuliah yang diambil oleh mahasiswa.Jumlah pasangan terurut yang mungkin |A×B|=3×4=12MisalkanR={(Ani,AlLin),(Ani,MetNum),(Budi,AlPro),(Budi,AlLin),(Cecep,MetNu m)}Kita lihat bahwa R⊆(A×B) dan |R|=5.
• 4. Contoh:A={2,3,4}B={2,4,8,9,15}R={(a,b)| a∈A ⋀ b∈B ⋀ (a habis membagi b)}Jumlah pasangan terurut yang mungkin |A×B|=3×5=15R={(2,2),(2,4),(4,4),(2,8),(4,8),(3,9),(3,15)}Kita lihat bahwa R⊆(A×B) dan |R|=7.
• 5. Penyajian Relasi dengan Diagram Panah: Ani AlPro Budi AlLin Cecep MatDis MetNum
• 6. Diagram Panah : 2 2 4 3 8 9 4 15
• 7.  Penyajian Relasi dengan Tabel A B A B Ani AlLin 2 2 2 4 Ani MetNum 2 8 Budi AlPro 3 9 Budi AlLin 3 15 Cecep MetNum 4 4 4 8
• 8. Penyajian Relasi dengan Matriks Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij], b1 b2  bn a1  m11 m12  m1n  a2  m21 m22  m2 n  M=            am mm1 mm 2  mmn  yang dalam hal ini 1, (ai , b j )  R mij   0, (ai , b j )  R
• 9. Relasi R pada Contoh sebelumnya dapat dinyatakan denganmatriks 0 1 0 1 1 1 0 0   0  0 0 1 dalam hal ini, a1 = Ani, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = AlPro,b2 = AlLin, b3 = MatDis, dan b4 = MetNum.Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan dengan matriks 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1    0 1 1 0 0   yang dalam hal ini, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, dan b1 = 2, b2 = 4, b3 = 8,b4 = 9, b5 = 15.
• 10. Penyajian Relasi dengan Graft Berarah Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph) Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) Jika (a, b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).
• 11. Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d,b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.R direpresentasikan dengan graf berarah sbb: b a c d
• 12. Relasi InversiDefinisi:Jika R adalah relasi dari A ke B, maka inversi relasi R, ditulis R-1 adalah relasi dari B ke A sebagai: R-1={(b,a)| (a,b)∈R}Contoh:R={(2,2),(2,4),(4,4),(2,8),(4,8),(3,9),(3,15)}makaR-1={(2,2),(4,2),(4,4),(8,2),(8,4),(9,3),(15,3)}kita lihat bahwaR-1={(b,a)| a∈A ⋀ b∈B ⋀ (b kelipatan dari a)}
• 13. Sifat-sifat Relasi: Refleksif (reflexive)Definisi: R bersifat reflexive jika ∀(a∈A) (a,a)∈RContoh:Misal A={1,2,3,4}R={(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)} reflexive? YaR={(1,1),(1,3),(2,1),(4,2),(4,3),(4,4)} reflexive? TidakR={(x,y)| x,y∈N, x>y} reflexive? TidakR={(x,y)| x,y∈N, x+y=5} reflexive? TidakR={(x,y)| x,y∈N, 3x+y=10}reflexive? Tidak
• 14. Sifat-sifat Relasi: Setangkup (symmetric)Definisi: R bersifat symmetric jika (a,b)∈R maka (b,a)∈R ∀(a,b∈A)Contoh:Misal A={1,2,3,4}R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)} symmetric? YaR={(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} symmetric? TidakR={(1,1),(2,2),(3,3)} symmetric? YaR={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} symmetric? TidakR={(1,2),(2,3),(1,3)} symmetric? TidakR={(x,y)| x,y∈N, x>y} symmetric? TidakR={(x,y)| x,y∈N, x+y=5} symmetric? YaR={(x,y)| x,y∈N, 3x+y=10}symmetric? Tidak
• 15. Sifat-sifat Relasi: Tolak-Setangkup(antisymmetric)Definisi: R bersifat antisymmetric jika (a,b)∈R dan (b,a)∈R maka a=b ∀(a,b∈A)Contoh:Misal A={1,2,3,4}R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)} antisymmetric? TidakR={(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} antisymmetric? TidakR={(1,1),(2,2),(3,3)} antisymmetric? YaR={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} antisymmetric? YaR={(1,2),(2,3),(1,3)} antisymmetric? YaR={(x,y)| x,y∈N, x>y} antisymmetric? YaR={(x,y)| x,y∈N, x+y=5} antisymmetric? TidakR={(x,y)| x,y∈N, 3x+y=10} antisymmetric? Ya
• 16. Sifat-sifat Relasi: Menghantar (transitive)Definisi: R bersifat transitive jika (a,b)∈R dan (b,c)∈R maka (a,c)∈R ∀(a,b,c∈A)Contoh:Misal A={1,2,3,4}R={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} transitive? YaR={(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} transitive? TidakR={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} transitive? YaR={(1,2),(2,3)} transitive? TidakR={(1,2),(3,4)} transitive? YaR={(2,3)} transitive? YaR={(x,y)| x,y∈N, x>y} transitive? YaR={(x,y)| x,y∈N, x+y=5} transitive? TidakR={(x,y)| x,y∈N, 3x+y=10} transitive? Tidak
• 17. Relasi Kesetaraan(equivalence relation)Definisi: R disebut equivalence relation jika bersifat: reflexive, symmetric, dan transitive.Contoh:R={(x,y)| x,y∈Mahasiswa ⋀ (x seangkatan dengan y)}(silakan Anda check!)
• 18. Relasi Pengurutan Parsial(partial ordering relation)Definisi:R disebut partial ordering relation jika bersifat: reflexive, antisymmetric, dan transitive.Contoh:R={(x,y) | x,y ∈ Z ⋀ x ≤ y}(silakan Anda check!)
• 19. FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f :A  B yang artinya f memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.
• 20.  Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B. Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.
• 21. Fungsi Adalah Relasi yang Khusus• Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f.  Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b)  f dan (a, c)  f, maka b = c.
• 22. Pengklasifikasian Fungsi Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan f(x) = 1/x. Kata-kata Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”.
• 23. Lanjutan… Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| function abs(x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end;
• 24.  Contoh Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B. Contoh Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}.
• 25.  Contoh Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B. Contoh Relasi f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v. Contoh Misalkan f : Z  Z didefinisikan oleh f(x) = x2. Daerah asal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negatif.
• 26. Contoh Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu, Tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu- ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.
• 27.  Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B. A B a 1 b 2 c 3 d
• 28.  Contoh Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.
• 29.  Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.
• 30.  Contoh 37. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible.
• 31. Komposisi dari Dua buah Fungsi Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f  g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f  g)(a) = f(g(a))
• 32.  Contoh 40. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah f  g = {(1, y), (2, y), (3, x) }
• 33. Fungsi Floor Dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.Fungsi floor dari x: x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan xFungsi ceiling dari x: x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan xDengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas.
• 34.  Contoh 42. Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling: 3.5 = 3 3.5 = 4 0.5 = 0 0.5 = 1 4.8 = 4 4.8 = 5 – 0.5 = – 1 – 0.5 = 0 –3.5 = – 4 –3.5 = – 3 Contoh 42. Di dalam komputer, data dikodekan dalam untaian byte, satu byte terdiri atas 8 bit. Jika panjang data 125 bit, maka jumlah byte yang diperlukan untuk merepresentasikan data adalah 125/8 = 16 byte. Perhatikanlah bahwa 16  8 = 128 bit, sehingga untuk byte yang terakhir perlu ditambahkan 3 bit ekstra agar satu byte tetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8 bit disebut padding bits).
• 35. Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif. a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m.Contoh 43. Beberapa contoh fungsi modulo 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = 0 3612 mod 45 = 12 0 mod 5 = 5 –25 mod 7 = 3 (sebab –25 = 7  (–4) + 3 )
• 36.  Fungsi Faktorial Fungsi Eksponensial Untuk kasus perpangkatan negatif,
• 37.  Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik berbentuk Fungsi Rekursif Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.
• 38.  Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:(a) Basis Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif.(b) Rekurens Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).
• 39.  Contoh definisi rekursif dari faktorial:(a) basis: n! = 1 , jika n = 0(b) rekurens: n! = n  (n -1)! , jika n > 0
• 40. 4! dihitung dengan langkah berikut: (1) 4! = 4  3! (rekurens) (2) 3! = 3  3! (3) 2! = 2  1! (4) 1! = 1  0! (5) 0! = 1 (5’) 0! = 1 (4’) 1! = 1  0! = 1  1 = 1 (3’) 2! = 2  1! = 2  1 = 2 (2’) 3! = 3  2! = 3  2 = 6 (1’) 4! = 4  3! = 4  6 = 24Jadi, 4! = 24